Vecteur normal et cercle : la géométrie mise en équations

Dans un jeu vidéo, comment l'ordinateur sait-il que la balle touche le mur ? Il ne « voit » rien : il calcule. Le mur est une droite, la zone d'action d'un ennemi un disque, et le produit scalaire permet d'en écrire les équations. Dans tout le cours, le repère est orthonormé, et les vecteurs portent une flèche comme au cours précédent : n, AM.

1. Le vecteur normal, clé de l'équation d'une droite

Notations : comme dans le cours sur le produit scalaire, les vecteurs s'écrivent ici sans flèche (n, AM, AB) ; sur ton cahier, mets la flèche. Le point « · » note le produit scalaire.

Un vecteur n non nul est normal à une droite d s'il est orthogonal à un vecteur directeur de d.

Théorème. La droite passant par A et de vecteur normal n(a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0. Réciproquement, si (a ; b) ≠ (0 ; 0), l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite, de vecteur normal n(a ; b) et de vecteur directeur u(−b ; a).

Démonstration. M(x ; y) est sur d si et seulement si AM est colinéaire à un vecteur directeur de d, c'est-à-dire orthogonal à n : AM · n = 0, soit a(x − xA) + b(y − yA) = 0, ou encore ax + by + c = 0 avec c = −a × xA − b × yA. Réciproquement, cet ensemble contient un point A (A(0 ; −cb) si b ≠ 0, sinon A(−ca ; 0)) ; en retranchant a × xA + b × yA + c = 0, l'équation devient a(x − xA) + b(y − yA) = 0, soit AM · n = 0 : c'est la droite passant par A de vecteur normal n, dirigée par u (non nul) car u · n = −ba + ab = 0.

Exemple 1. La droite passant par A(2 ; −1), de vecteur normal n(3 ; 4) : 3(x − 2) + 4(y + 1) = 0, soit 3x + 4y − 2 = 0.

Exemple 2 : une hauteur. Dans le triangle A(1 ; 2), B(5 ; 0), C(3 ; 6), la hauteur issue de A a pour vecteur normal BC(−2 ; 6), ou (1 ; −3) qui lui est colinéaire, d'où x − 3y + c = 0 avec 1 − 6 + c = 0 : x − 3y + 5 = 0.

2. L'équation d'un cercle

Le cercle de centre Ω(xΩ ; yΩ) et de rayon r > 0 est l'ensemble des points M tels que ΩM = r, ce qui équivaut à ΩM² = r² :

(x − xΩ)² + (y − yΩ)² = r²

Exemple 3 : reconnaître un cercle. Que représente x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 ? On complète les carrés : x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 6y = (y + 3)² − 9. L'équation devient (x − 2)² + (y + 3)² = 25 : cercle de centre (2 ; −3) et de rayon 5. Méfiance : x² + y² + 2x + 10 = 0 donne (x + 1)² + y² = −9 : ensemble vide.

Cercle de diamètre [AB]. Si I est le milieu de [AB], alors, en vecteurs, IB = −IA, donc MA · MB = (MI + IA) · (MI − IA) = MI² − IA². Ainsi MA · MB = 0 équivaut à MI = IA, c'est-à-dire que M est sur le cercle de centre I passant par A : le cercle de diamètre [AB].

3. Résoudre un problème dans un repère

Tangente. La tangente en T au cercle de centre Ω est perpendiculaire au rayon [ΩT]. Pour le cercle de centre P(5 ; 3) passant par A(2 ; −1), de rayon PA = √(3² + 4²) = 5, AP(3 ; 4) est normal à la tangente en A : c'est la droite 3x + 4y − 2 = 0 de l'exemple 1 !

Projeté orthogonal. Le projeté H d'un point P sur d est l'intersection de d avec la perpendiculaire à d passant par P. Pour P(5 ; 3) et d : 3x + 4y − 2 = 0, la perpendiculaire a pour vecteur normal u(−4 ; 3), vecteur directeur de d : −4(x − 5) + 3(y − 3) = 0, soit −4x + 3y + 11 = 0. En ajoutant 4 fois la première équation et 3 fois la seconde, on obtient 25y + 25 = 0 : y = −1, puis x = 2. Donc H(2 ; −1) = A et PH = 5, le rayon : d est tangente.

Intersection droite-cercle. Pour x² + y² = 25 et y = x + 1 : x² + (x + 1)² = 25, soit x² + x − 12 = 0 ; Δ = 49, d'où x = 3 ou x = −4, et les points (3 ; 4) et (−4 ; −3). Si Δ < 0, aucun point commun ; si Δ = 0, la droite est tangente.

À retenir

• Un vecteur non nul n(a ; b) est normal à d si et seulement si d a une équation de la forme ax + by + c = 0 ; on trouve c avec un point connu de d.
• Cercle de centre Ω, de rayon r : (x − xΩ)² + (y − yΩ)² = r² ; pour le reconnaître, compléter les carrés.
• M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0.
• Tangente : perpendiculaire au rayon. Projeté orthogonal : intersection avec la perpendiculaire.

★ Pour aller plus loin

Un résultat non exigé en Première : la distance du point M₀(x₀ ; y₀) à la droite d'équation ax + by + c = 0 vaut |ax₀ + by₀ + c|√(a² + b²). Avec P(5 ; 3) et la droite 3x + 4y − 2 = 0 : |15 + 12 − 2| ÷ 5 = 5.

Décrire une courbe par une équation : Descartes le publie en 1637 dans « La Géométrie », l'un des essais qui accompagnent son « Discours de la méthode », et Fermat y arrive seul à la même époque. D'où le nom de coordonnées « cartésiennes ».

Sources pour creuser

• Livres : Mickaël Launay, « Le Grand Roman des maths » (Flammarion) ; Denis Guedj, « Le Théorème du perroquet » (Seuil).
• Vidéos : chaîne YouTube « Yvan Monka », cherche « Monka vecteur normal équation cartésienne » et « Monka équation de cercle ».
• Institutionnel : lumni.fr (lycée, mathématiques) ; maths-et-tiques.fr ; eduscol.education.fr (programme de Première).