Le produit scalaire, détecteur d'angles droits

Tu tires ta valise sur 10 m avec une force de 50 N, dirigée le long de la poignée inclinée de 60° par rapport au sol. Seule la part de ta force parallèle au sol fait avancer la valise : 50 × cos 60° = 25 N. Le physicien dit que ta force fournit un travail de 25 × 10 = 250 J, et il l'écrit F · AB (vecteur force, vecteur déplacement) : c'est un produit scalaire. Il mesure à quel point deux vecteurs vont « dans le même sens » et s'annule exactement quand ils sont orthogonaux.

Notations : ici, les vecteurs s'écrivent sans flèche (u, v, AB) ; sur ton cahier, mets la flèche. Le point « · » note le produit scalaire de deux vecteurs, ‖u‖ la norme (la longueur) de u ; AB × AH est un produit de longueurs.

1. Définition avec le cosinus

Soient u et v deux vecteurs non nuls qui forment un angle θ. Leur produit scalaire est le nombre réel :

u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ

Si l'un des deux vecteurs est nul, u · v = 0. En particulier, u · u = ‖u‖². Le signe parle : un angle aigu donne un produit positif, un angle obtus un produit négatif, un angle droit un produit nul.

Exemple. Dans un triangle équilatéral ABC de côté 4 : AB · AC = 4 × 4 × cos 60° = 16 × 0,5 = 8.

2. Avec le projeté orthogonal

Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors AB · AC = AB · AH, ce qui vaut AB × AH si H est sur la demi-droite [AB), et −AB × AH sinon. La raison : quand l'angle θ est aigu, le triangle AHC est rectangle en H, donc AH = AC × cos θ.

Exemple. ABCD est un carré de côté 3. Le projeté de C sur (AB) est B, donc AB · AC = AB × AB = 9. Le cosinus donne bien la même chose : 3 × 3√2 × cos 45° = 9.

3. Avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors u · v = xx' + yy' et ‖u‖ = √(x² + y²).

Démontrer une orthogonalité. Soient A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). On a AB(3 ; 1) et AC(−1 ; 3), donc AB · AC = 3 × (−1) + 1 × 3 = 0 : le triangle ABC est rectangle en A.

Calculer un angle. Pour u(3 ; 1) et v(2 ; 4) : u · v = 6 + 4 = 10, ‖u‖ = √10 et ‖v‖ = √20. Donc cos θ = 10√10 × √20 = 1010√2 = √22, et θ = 45°.

4. Règles de calcul

• Symétrie : u · v = v · u.
• Bilinéarité : u · (v + w) = u · v + u · w et (ku) · v = k(u · v).
• Identités : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2u · v + ‖v‖² et ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2u · v + ‖v‖².
• Polarisation : u · v = 12(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²).
• Orthogonalité : u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0 (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).

5. Démonstration : la formule d'Al-Kashi

Dans un triangle ABC, notons a = BC, b = AC et c = AB. D'après la relation de Chasles, en vecteurs, BC = BA + AC = AC − AB. Donc :

a² = ‖AC − AB‖² = AC² − 2AB · AC + AB² = b² + c² − 2bc × cos Â

Si  = 90°, cos  = 0 et l'on retrouve le théorème de Pythagore : Al-Kashi le généralise à tous les triangles.

Exemple. Avec b = 5, c = 8 et  = 60° : a² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 0,5 = 49, donc BC = 7.

Autre conséquence, que tu démontreras dans ta fiche : MA · MB = 0 si et seulement si M est sur le cercle de diamètre [AB].

À retenir

• u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ est un nombre ; u · u = ‖u‖².
• Projeté : AB · AC = AB · AH, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
• En repère orthonormé : u · v = xx' + yy'.
• u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
• Angle : cos θ = u · v‖u‖ × ‖v‖ ; Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc × cos Â.

★ Pour aller plus loin

En France, la formule porte le nom de Ghiyath al-Kashi, astronome et mathématicien de Samarcande mort en 1429, qui l'employa pour ses calculs de trigonométrie ; ailleurs, on l'appelle « loi des cosinus ». Euclide en donnait déjà une version géométrique dans le livre II des Éléments, vers 300 av. n. è.

En Terminale, le produit scalaire passe dans l'espace : xx' + yy' + zz'. Les moteurs de recherche représentent des textes par des vecteurs à des milliers de coordonnées et mesurent leur ressemblance par le cosinus de leur angle : la « similarité cosinus ».

Sources pour creuser

• Euclide, Les Éléments, livre II, propositions 12 et 13 : l'ancêtre d'Al-Kashi.
• Denis Guedj, Le Théorème du perroquet (Seuil, 1998) : un roman qui traverse l'histoire des mathématiques.
• Chaîne YouTube « Yvan Monka » : cherche « Yvan Monka produit scalaire ».
• GeoGebra (geogebra.org) : fais tourner deux vecteurs et observe le signe du produit scalaire.
• lumni.fr ; education.gouv.fr : le programme de spécialité de Première.