La parabole sous toutes ses formes : sommet, variations et racines

Au basket, un ballon lancé dessine un arc : une parabole. Imagine que sa hauteur, en mètres, après x mètres parcourus à l'horizontale, vaut h(x) = −0,2x² + 1,2x + 2. Où culmine-t-il ? À quelle hauteur ? Où retombe-t-il ? Chaque question a son écriture de h.

1. La parabole et son orientation

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Elle coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; c), car f(0) = c.

2. Le sommet et l'axe de symétrie

La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b2a et β = f(α), dit tout du sommet. Si a > 0, a(x − α)² ≥ 0, donc f(x) ≥ β pour tout x, avec égalité seulement en α : β est le minimum de f. Si a < 0, β est le maximum.

Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole, la droite d'équation x = α son axe de symétrie : pour tout réel t, f(α − t) = f(α + t) = at² + β.

Exemple. Pour f(x) = 2x² − 8x + 5 : α = 84 = 2 et β = f(2) = 8 − 16 + 5 = −3. Sommet S(2 ; −3), minimum −3.

3. Les variations

x	de −∞ à α	en α	de α à +∞
si a > 0	décroissante	minimum β	croissante
si a < 0	croissante	maximum β	décroissante

Preuve pour a > 0 : si α ≤ u < v, alors 0 ≤ u − α < v − α, donc (u − α)² < (v − α)², d'où, comme a > 0, f(u) < f(v) : f croît sur [α ; +∞[. Idem de l'autre côté. La dérivée f'(x) = 2ax + b, nulle en α, le confirme.

Le ballon. Pour h(x) = −0,2x² + 1,2x + 2 : α = −1,2−0,4 = 3 et β = h(3) = −1,8 + 3,6 + 2 = 3,8. Comme a < 0, h croît sur [0 ; 3] puis décroît : le ballon culmine à 3,8 m, à 3 m du lanceur.

4. Racines et forme factorisée

Les racines de f sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses : deux points si Δ > 0, un seul (le sommet) si Δ = 0, aucun si Δ < 0. Si Δ > 0, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), et par symétrie α = x₁ + x₂2 : le sommet est à mi-chemin des racines.

En développant a(x − x₁)(x − x₂) = ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂ et en identifiant avec ax² + bx + c, on obtient la somme et le produit des racines : x₁ + x₂ = −ba et x₁ × x₂ = ca.

Exemples. g(x) = −(x − 1)(x − 5) a pour racines 1 et 5, donc α = 3 et β = g(3) = −2 × (−2) = 4 : sommet S(3 ; 4). Et 1 est racine évidente de x² − 7x + 6 : le produit des racines vaut 6, donc l'autre est 6.

Le ballon retombe quand h(x) = 0 : Δ = 1,44 + 1,6 = 3,04 et la racine positive vaut −1,2 − √3,04−0,4 ≈ 7,36 : il touche le sol à environ 7,36 m.

5. Choisir la bonne forme

Une fonction a trois écritures : f(x) = 2x² − 4x − 6 = 2(x − 1)² − 8 = 2(x + 1)(x − 3).

• La forme développée donne f(0) = −6 et résout f(x) = −6 : 2x² − 4x = 0, soit 2x(x − 2) = 0 (x = 0 ou x = 2).
• La forme canonique donne le sommet et les variations : minimum −8 en x = 1.
• La forme factorisée donne les racines, −1 et 3, et le signe.

À retenir

• La courbe de f(x) = ax² + bx + c est une parabole, tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
• Sommet S(α ; β) avec α = −b ÷ (2a) et β = f(α) ; axe de symétrie : la droite x = α.
• a > 0 : f décroît puis croît, β est un minimum ; a < 0 : f croît puis décroît, β est un maximum.
• Si Δ > 0 : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ; α est le milieu des racines ; somme −b ÷ a, produit c ÷ a.
• Développée pour f(0), canonique pour l'extremum, factorisée pour les racines et le signe.

★ Pour aller plus loin

Le mot « parabole » vient d'Apollonius de Perga, géomètre grec qui étudia vers 200 av. n. è. les courbes obtenues en coupant un cône : ellipse, parabole, hyperbole. En 1638, Galilée démontre qu'un projectile, si l'on néglige l'air, suit une trajectoire parabolique.

Tout rayon parallèle à l'axe d'une parabole s'y réfléchit en passant par un même point, le foyer. Voilà pourquoi les antennes satellites, les phares de voiture et le grand four solaire d'Odeillo, dans les Pyrénées, utilisent des miroirs paraboliques.

Sources pour creuser

• Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths (Flammarion, 2016) : l'histoire des maths racontée comme une aventure.
• Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles (1638), quatrième journée : les projectiles.
• GeoGebra (geogebra.org) : trace y = ax² + bx + c avec des curseurs a, b, c.
• Chaîne YouTube « Yvan Monka » : cherche « Yvan Monka forme canonique ».
• lumni.fr ; education.gouv.fr : le programme de spécialité de Première.