Le discriminant mène l'enquête : équations, inéquations et signe d'un trinôme

Tu veux imprimer un autocollant de 120 cm² dont la longueur dépasse la largeur de 7 cm. Si x est la largeur en cm, il faut x(x + 7) = 120, soit x² + 7x − 120 = 0. Ni facteur commun ni identité remarquable : place au discriminant.

1. Trinôme et forme canonique

Un trinôme du second degré s'écrit ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0. Une racine est un réel x tel que ax² + bx + c = 0 : 3 est racine de x² − x − 6, car 9 − 3 − 6 = 0.

Idée clé : compléter le carré. Comme x² − 6x = (x − 3)² − 9, on a 2x² − 12x + 10 = 2((x − 3)² − 9) + 10 = 2(x − 3)² − 8. En général, on factorise par a :

ax² + bx + c = a[(x + b2a)² − b² − 4ac4a²]

Le nombre Δ = b² − 4ac est le discriminant. On obtient la forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b2a et β = −Δ4a. Pour 2x² − 12x + 10 : Δ = 144 − 80 = 64, α = 3 et β = −64 ÷ 8 = −8.

2. Résoudre ax² + bx + c = 0 : la démonstration

Comme a ≠ 0, l'équation équivaut à (x + b2a)² = Δ4a², avec 4a² > 0.

• Δ < 0 : un carré n'est jamais strictement négatif : aucune solution réelle.
• Δ = 0 : x + b2a = 0, donc une seule solution x₀ = −b2a (racine double).
• Δ > 0 : x + b2a vaut √Δ2a ou −√Δ2a, les deux racines carrées de Δ4a². D'où deux solutions : x₁ = −b − √Δ2a et x₂ = −b + √Δ2a.

L'autocollant. Pour x² + 7x − 120 = 0 : Δ = 7² − 4 × 1 × (−120) = 49 + 480 = 529 = 23². Donc x₁ = −7 − 232 = −15 et x₂ = −7 + 232 = 8. La largeur est positive : l'autocollant mesure 8 cm sur 15 cm.

Deux autres cas. Pour 9x² − 6x + 1 = 0, Δ = 0 : une seule solution, 618 = 13. Pour x² + x + 1 = 0, Δ = −3 : aucune solution réelle.

3. Factorisation et signe du trinôme

Si Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x₀)² ; si Δ < 0, aucune factorisation en facteurs du premier degré. On en déduit le signe :

• Δ < 0 : le trinôme est toujours du signe de a (dans la forme canonique, le crochet est strictement positif) ;
• Δ = 0 : il est du signe de a et ne s'annule qu'en x₀ ;
• Δ > 0 : il est du signe de a à l'extérieur des racines, du signe contraire entre elles (le tableau de signes de a(x − x₁)(x − x₂) le prouve).

4. Résoudre une inéquation

Méthode : comparer à 0, chercher les racines, dresser le tableau de signes.

Exemple. Résolvons −x² + 2x + 3 ≥ 0. Ici a = −1, Δ = 4 + 12 = 16, et les racines sont −2 − 4−2 = 3 et −2 + 4−2 = −1. Comme a < 0, il est positif entre les racines :

x	x < −1	−1	entre −1 et 3	3	x > 3
−x² + 2x + 3	−	0	+	0	−

Donc S = [−1 ; 3]. Le signe ≥ garde les racines ; avec > on aurait ]−1 ; 3[.

Autre exemple. Pour 2x² − 3x − 2 > 0 : Δ = 9 + 16 = 25, racines −0,5 et 2, a > 0, donc positif à l'extérieur : S = ]−∞ ; −0,5[ ∪ ]2 ; +∞[.

À retenir

• Δ = b² − 4ac ; forme canonique a(x − α)² + β avec α = −b ÷ (2a) et β = −Δ ÷ (4a).
• Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine −b ÷ (2a) ; Δ > 0 : deux racines −b ± √Δ2a.
• Si Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
• Le trinôme est du signe de a, sauf entre ses deux racines (si Δ > 0).
• Inéquation : racines, tableau de signes, crochets selon < ou ≤.

★ Pour aller plus loin

Il y a près de 4 000 ans, des scribes de Mésopotamie résolvaient déjà des problèmes du second degré : la tablette BM 13901 cherche le côté d'un carré connaissant la somme de son aire et de son côté. Au IXᵉ siècle, à Bagdad, al-Khwârizmî justifie la méthode en complétant un vrai carré dessiné ; son traité Kitâb al-jabr wa-l-muqâbala a donné le mot « algèbre ».

Des formules existent pour les degrés 3 et 4, mais pour le degré 5, Niels Abel démontre en 1824 qu'aucune formule générale avec des racines n'existe. Et quand Δ < 0 ? En Terminale, l'option mathématiques expertes introduit un nombre i tel que i² = −1 : x² + x + 1 = 0 y a deux solutions « complexes ».

Sources pour creuser

• Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths (Flammarion, 2016) : l'histoire des maths, de Babylone à aujourd'hui.
• Denis Guedj, Le Théorème du perroquet (Seuil, 1998) : un roman où l'on croise les mathématiciens grecs et arabes.
• Chaîne YouTube « Yvan Monka » : cherche « Yvan Monka discriminant ».
• lumni.fr ; education.gouv.fr : le programme de spécialité de Première.