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Le hasard qui dépend du contexte : arbres, tableaux et probabilités totales

Première · Mathématiques · environ 15 min

Tu ouvres ton appli météo : « 70 % de pluie ». Mais si tu regardes déjà le ciel gris, ton estimation change, non ? Le fait de savoir quelque chose modifie la probabilité. C'est exactement l'idée des probabilités conditionnelles : la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre est déjà réalisé.

1. La notation qui change tout

On note P_A(B) (ou P(B|A)) la probabilité de B sachant que A est réalisé. La formule clé :

P_A(B) = P(A cap B)P(A)

où A cap B signifie « A et B se produisent tous les deux ».

Exemple. Dans une classe, P(A cap B) = 0,12 (élève qui fait de l'espagnol ET du théâtre) et P(A) = 0,30 (fait de l'espagnol). Alors, parmi les hispanophones, la proportion qui fait du théâtre est :

P_A(B) = frac0,120,30 = 0,4 = 40%.

2. L'arbre pondéré : ton meilleur ami

Probabilités : l'arbre Un dé à six faces représente une expérience au hasard. L'arbre des possibles part d'un point et se sépare en autant de branches que d'issues : ici six branches, une par face. Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité, une chance sur six. une expérience ⋮ 1/6 1/6 1/6 1/6 6 issues, chacune p = 1/6
L'arbre pondéré : chaque branche porte une probabilité conditionnelle

Un arbre dessine les étapes. Sur chaque branche, on écrit une probabilité.

Règles d'or :

  • La somme des branches partant d'un même point vaut 1.
  • Pour un chemin complet, on multiplie les probabilités des branches.
  • Les branches du 2ᵉ niveau sont des probabilités conditionnelles.

Exemple. Une usine a 2 machines. La machine M1 produit 60 % des pièces, M2 en produit 40 %. M1 fait 5 % de défauts, M2 en fait 8 %.

 0,05 Défaut → 0,60×0,05 = 0,030
 M1 <
 / 0,60 0,95 OK
Départ
 \ 0,40 0,08 Défaut → 0,40×0,08 = 0,032
 M2 <
 0,92 OK

La probabilité qu'une pièce vienne de M1 et soit défectueuse : 0,60 × 0,05 = 0,030.

3. La formule des probabilités totales

Pour trouver la probabilité totale d'un défaut, on additionne tous les chemins menant à « Défaut » :

P(D) = P(M₁ cap D) + P(M₂ cap D) = 0,030 + 0,032 = 0,062.

En clair : si A et son contraire A̅ (« non-A ») partagent tout l'univers,

P(B) = P(A ∩ B) + P(A̅ ∩ B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_A̅(B).

4. Le tableau : la même chose, autrement

Le diagramme en barres Un diagramme en barres. Sur l'axe horizontal, quatre catégories ; sur l'axe vertical, les valeurs. Chaque barre monte à la hauteur de son nombre : plus la barre est haute, plus la valeur est grande. AB CD
Le tableau d'effectifs : une autre façon de lire les probabilités conditionnelles

Pour 1000 pièces :

Défaut OK Total
M1 30 570 600
M2 32 368 400
Total 62 938 1000

On retrouve P(D) = 62/1000 = 0,062. Et P_D(M₁) = 30/62 ≈ 0,484 : sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle chance qu'elle vienne de M1 ?

À retenir

  • P_A(B) = P(A cap B)P(A) : « probabilité de B sachant A ».
  • Sur un arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins.
  • Les branches d'un même nœud ont pour somme 1.
  • Probabilités totales : P(B) = P(A)P_A(B) + P(bar A)P_bar A(B).
  • Un tableau d'effectifs donne les mêmes résultats plus visuellement.

Corrections

Ex. 1. P(+) = P(M)P_M(+) + P(M̄)P_M̄(+) = 0,02times0,95 + 0,98times0,03 = 0,019 + 0,0294 = 0,0484. Environ 4,84 %.

Ex. 2. P_+(M) = P(Mcap +)P(+) = dfrac{0{,}0190{,}0484 ≈ 0{,}393. Soit 39,3 % seulement ! Surprenant : un test positif ne signifie pas être malade à coup sûr.

Ex. 3. P(brillante) = 0,60times0,20 + 0,40times0,50 = 0,12 + 0,20 = 0,32. Soit 32 %.