School 47
Se connecter

Suites qui grimpent ou plongent : variations et limites

Première · Mathématiques · environ 15 min

Imagine que tu épargnes de l'argent. Le premier mois, tu mets 50 €. Puis chaque mois, tu ajoutes 20 € de plus. Ton copain, lui, place 100 € et son argent est multiplié par 1,05 chaque année grâce aux intérêts. Vos deux systèmes d'épargne, ce sont des suites numériques ! Aujourd'hui, on va apprendre à les reconnaître, à voir si elles montent ou descendent, et à deviner où elles finissent.

1. Qu'est-ce qu'une suite ?

Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres : u₀, u₁, u₂, u₃, dots On note uₙ le terme de rang n. Le petit n te dit « à quelle position » tu es.

Il y a deux grandes familles à connaître par cœur.

2. Les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même chose)

On passe d'un terme au suivant en ajoutant un nombre fixe appelé raison r.

uₙ₊₁ = uₙ + r

Formule explicite : uₙ = u₀ + n × r.

Suites arithmétique et géométrique Un repère où l'axe horizontal porte le rang n de la suite et l'axe vertical la valeur du terme. Les points bleus d'une suite arithmétique sont parfaitement alignés : on ajoute le même nombre r pour passer d'un terme au suivant. Les points orange d'une suite géométrique montent en s'accélérant, sur une courbe : on multiplie par le même nombre q à chaque étape. La suite arithmétique croît d'un pas constant, la géométrique s'emballe. n uₙ arithmétique : + r géométrique : × q uₙ₊₁ = uₙ + r · uₙ₊₁ = uₙ × q
Suite arithmétique : u₀ = 50, r = 20. Les points sont alignés.

Exemple : ton épargne : u₀ = 50 et r = 20. Donc u₃ = 50 + 3 × 20 = 110 €.

Variation : c'est le signe de r qui décide.

  • Si r > 0 → la suite est croissante (elle monte).
  • Si r < 0 → la suite est décroissante (elle descend).

3. Les suites géométriques (on multiplie toujours par la même chose)

On passe d'un terme au suivant en multipliant par un nombre fixe appelé raison q.

uₙ₊₁ = uₙ × q

Formule explicite : uₙ = u₀ × qⁿ.

Suites arithmétique et géométrique Un repère où l'axe horizontal porte le rang n de la suite et l'axe vertical la valeur du terme. Les points bleus d'une suite arithmétique sont parfaitement alignés : on ajoute le même nombre r pour passer d'un terme au suivant. Les points orange d'une suite géométrique montent en s'accélérant, sur une courbe : on multiplie par le même nombre q à chaque étape. La suite arithmétique croît d'un pas constant, la géométrique s'emballe. n uₙ arithmétique : + r géométrique : × q uₙ₊₁ = uₙ + r · uₙ₊₁ = uₙ × q
Suite géométrique : u₀ = 100, q = 1,05. Les points suivent une courbe exponentielle.

Exemple : l'épargne de ton copain : u₀ = 100 et q = 1,05. Donc u₂ = 100 × 1,05² = 110,25 €.

Variation (quand u₀ > 0) :

  • Si q > 1 → croissante.
  • Si 0 < q < 1 → décroissante.

4. Suites définies par récurrence

Parfois on te donne juste le premier terme et une relation, par exemple : u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 1. Tu calcules pas à pas : u₁ = 3times2 - 1 = 5, puis u₂ = 3times5 - 1 = 14.

5. La limite : où va la suite quand n devient énorme ?

  • Suite géométrique avec q > 1 (et u₀ > 0) : elle explose vers +∞.
  • Suite géométrique avec -1 < q < 1 : elle se rapproche de 0 (limite = 0).
  • Suite arithmétique avec r ≠ 0 : elle file vers +∞ (si r>0) ou -∞ (si r<0).

À retenir

  • Arithmétique = on ajoute r : uₙ = u₀ + nr.
  • Géométrique = on multiplie par q : uₙ = u₀ × qⁿ.
  • Le signe de r donne le sens de variation d'une suite arithmétique.
  • Pour une géométrique à termes positifs : q>1 croît, 0<q<1 décroît.
  • Limite d'une géométrique : → 0 si |q|<1, → +∞ si q>1 (u₀>0).

Corrections

Exercice 1. u₄ = u₀ + 4r = 7 + 4×(-3) = 7 - 12 = -5. Comme r = -3 < 0, la suite est décroissante.

Exercice 2. v₃ = v₀ × q³ = 5 × 2³ = 5 × 8 = 40. Comme q = 2 > 1 et v₀ > 0, la limite est +∞.

Exercice 3. w₁ = 2times1 + 3 = 5 ; w₂ = 2times5 + 3 = 13 ; w₃ = 2times13 + 3 = 29. Bravo, tu maîtrises la récurrence !