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La dérivée, ma boussole pour dompter les fonctions

Première · Mathématiques · environ 20 min

Imagine que tu fais du vélo sur une route qui monte, descend, remonte. À chaque instant, tu sens si ça grimpe (tu forces) ou si ça descend (tu roules tout seul). Eh bien, une fonction, c'est cette route ! Et la dérivée, c'est ton capteur qui te dit, à chaque endroit, si la courbe monte ou descend. Maîtriser cet outil, c'est pouvoir prévoir le comportement de n'importe quelle fonction. Allons-y pas à pas.

1. Qu'est-ce que la dérivée ?

Le nombre dérivé : la pente de la tangente Un repère avec une courbe orange, la représentation d'une fonction. En un point M de la courbe, d'abscisse a, on a tracé une droite verte qui touche la courbe sans la traverser : la tangente. Un petit triangle bleu montre sa pente : en avançant horizontalement, on monte d'une hauteur. Le nombre dérivé f prime de a est exactement cette pente : la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. déplacement montée M a f '(a) = pente
La tangente à la courbe montre la pente en un point : c'est la dérivée

La dérivée d'une fonction f, notée f', mesure la pente de la courbe en chaque point. Concrètement :

  • si f'(x) > 0 : la fonction monte (croissante) ;
  • si f'(x) < 0 : la fonction descend (décroissante) ;
  • si f'(x) = 0 : la pente est nulle, on est souvent sur un sommet ou un creux (extremum).

2. Les formules à connaître

Voici tes outils de base. Si f(x) = xⁿ, alors f'(x) = n × xⁿ⁻¹.

Fonction f(x) Dérivée f'(x)
k (constante) 0
x 1
x² 2x
x³ 3x²
1x -1x²
√x frac12√x

Règles utiles :

  • (u+v)' = u' + v'
  • (k × u)' = k × u'

Exemple 1 : Soit f(x) = 3x² - 5x + 4. On dérive chaque morceau : (3x²)' = 6x, (-5x)' = -5, (4)' = 0. Donc f'(x) = 6x - 5.

3. La méthode complète pour étudier une fonction

Suis toujours ces 4 étapes :

La fonction du second degré Un repère avec une parabole tournée vers le haut : la représentation graphique d'une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, les racines x₁ et x₂. Son point le plus bas est le sommet. Une droite verticale en pointillés, l'axe de symétrie, passe par le sommet. Le discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines : positif il y en a deux, nul une seule, négatif aucune. f(x) = a·x² + b·x + c x₁ x₂ sommet Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines
Tableau de variations : les flèches montrent où la fonction croît ou décroît
  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) (résoudre f'(x) = 0 puis regarder de part et d'autre).
  3. Dresser le tableau de variations : flèche montante quand f' > 0, descendante quand f' < 0.
  4. Conclure (extremums, valeurs particulières...).

Exemple 2 : Étudions f(x) = x² - 4x + 1 sur mathbbR.

  • Étape 1 : f'(x) = 2x - 4.
  • Étape 2 : f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2. Pour x < 2, f'(x) < 0 ; pour x > 2, f'(x) > 0.
  • Étape 3 : f décroît sur ]-∞ ; 2] puis croît sur [2 ; +∞[.
  • Étape 4 : minimum en x = 2, avec f(2) = 4 - 8 + 1 = -3.

Exemple 3 (application) : Un fabricant a un bénéfice B(x) = -x² + 10x - 9 (en milliers d'euros) pour x produits vendus. Combien vendre pour un bénéfice maximal ? B'(x) = -2x + 10. On résout -2x + 10 = 0 ⇒ x = 5. Avant 5, B' > 0 (ça monte), après, B' < 0 (ça descend) : c'est un maximum. Bénéfice max : B(5) = -25 + 50 - 9 = 16 milliers d'euros.

À retenir

  • La dérivée f' donne la pente de la courbe en chaque point.
  • f'(x) > 0 ⇒ croissante ; f'(x) < 0 ⇒ décroissante.
  • Un extremum (max ou min) se trouve là où f'(x) = 0 en changeant de signe.
  • Formule reine : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹.
  • Méthode : dériver → étudier le signe → tableau de variations → conclure.

Corrections

Exercice 1 : On dérive terme par terme : (4x³)' = 12x², (-2x²)' = -4x, (7x)' = 7, (-1)' = 0. Donc f'(x) = 12x² - 4x + 7.

Exercice 2 : g'(x) = 2x - 6. On résout 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3. Pour x < 3 : g' < 0 (décroissante) ; pour x > 3 : g' > 0 (croissante). Minimum en x = 3 : g(3) = 9 - 18 + 5 = -4.

Exercice 3 : A'(x) = -2x + 20. On résout -2x + 20 = 0 ⇒ x = 10. Avant 10, A' > 0 ; après, A' < 0 : maximum en x = 10. Aire max : A(10) = -100 + 200 = 100.