Du lancer franc à l'orbite géostationnaire : équations horaires et lois de Kepler

Un ballon qui file vers le panier, les électrons d'un accélérateur, la Station spatiale internationale qui fait le tour de la Terre en une heure et demie : trois mouvements, une seule méthode. La deuxième loi de Newton va te donner leur position à chaque instant.

1. La méthode

On étudie le centre de masse du système dans un référentiel galiléen (terrestre pour un lancer, géocentrique pour un satellite). On fait le bilan des forces, puis on écrit ΣF = m × a, où a = dvdt est le vecteur accélération. On intègre deux fois : l'accélération donne la vitesse, la vitesse donne la position, et les constantes viennent des conditions initiales.

2. Chute libre dans le champ de pesanteur uniforme

Sans action de l'air, la seule force est le poids : m × a = m × g, donc a = g, quelle que soit la masse. Axe (Ox) horizontal, axe (Oz) vertical vers le haut, lancer depuis O à la vitesse v0 inclinée d'un angle α :

• accélération : ax = 0 et az = −g ;
• vitesse : vx = v0 × cos α et vz = −g × t + v0 × sin α ;
• position : x = v0 × cos α × t et z = −12 × g × t² + v0 × sin α × t.

Ce sont les équations horaires. En remplaçant t par xv0 × cos α, on obtient la trajectoire, une parabole : z = −g2 × v0² × cos² α × x² + tan α × x.

Exemple 1. Un ballon part du sol à 10,0 m/s avec α = 30° (g = 9,81 m/s²). Au sommet, vz = 0 : t = 10,0 × sin 30°9,81 = 0,510 s et z = −12 × 9,81 × 0,510² + 5,00 × 0,510 = 1,27 m : c'est la hauteur maximale.

3. Une particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre deux plaques parallèles distantes de d, sous la tension U, le champ est uniforme : E = Ud (en V/m), orienté de la plaque positive vers la plaque négative. Une charge q subit F = q × E : dans le sens du champ si q > 0, en sens opposé si q < 0. Son poids est négligeable.

Exemple 2. Un électron (m = 9,11 × 10⁻³¹ kg, charge −e, e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C) part du repos entre deux plaques distantes de 1,00 cm, sous 1,00 × 10³ V : E = 1,00 × 10⁵ V/m et F = e × E = 1,60 × 10⁻¹⁴ N, contre un poids de 8,9 × 10⁻³⁰ N. Le théorème de l'énergie cinétique donne 12 × m × v² = e × U, donc v = √(2 × e × Um) ≈ 1,87 × 10⁷ m/s : c'est le principe des accélérateurs linéaires.

4. Satellites et planètes

Dans le repère de Frenet (un vecteur tangent, un vecteur normal dirigé vers le centre), l'accélération a une composante tangentielle dvdt et une composante normale v²r. Un satellite à la distance r du centre de la Terre (masse M) ne subit que F = G × M × mr², vers le centre, avec G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻². Sur une orbite circulaire, dvdt = 0 : le mouvement est uniforme, et v²r = G × Mr² donne :

v = √(G × Mr) et T = 2π × rv, donc T²r³ = 4π²G × M.

Kepler l'avait tiré des observations de Tycho Brahe, avant que Newton ne l'explique (1687). Ses trois lois (1609 et 1619) :

1. l'orbite d'une planète est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer ;
2. loi des aires : le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des durées égales ;
3. T²a³ a la même valeur pour tous les corps qui tournent autour d'un même astre (a : demi-grand axe).

Exemple 3 : l'ISS, à 410 km d'altitude : r = 6 371 + 410 = 6 781 km. Avec M = 5,97 × 10²⁴ kg, v = √(6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴6,781 × 10⁶) ≈ 7,66 × 10³ m/s et T = 2π × 6,781 × 10⁶7,66 × 10³ ≈ 5,56 × 10³ s, soit 92,7 min. Un satellite géostationnaire tourne dans le plan de l'équateur en un jour sidéral (86 164 s) : la troisième loi impose r ≈ 42 200 km, soit environ 35 800 km d'altitude.

À retenir

• Méthode : référentiel galiléen, bilan des forces, ΣF = m × a, puis deux intégrations.
• Pesanteur uniforme, sans air : a = g, vitesse horizontale constante, trajectoire parabolique.
• Champ électrique uniforme : E = Ud et F = q × E.
• Orbite circulaire : mouvement uniforme, v = √(G × Mr).
• Troisième loi de Kepler : T²a³ est la même autour d'un même astre.

★ Pour aller plus loin

En 1846, Urbain Le Verrier calcule, d'après les irrégularités de l'orbite d'Uranus, la position d'une planète inconnue. Johann Galle la repère à Berlin le 23 septembre, à environ un degré de l'endroit annoncé : c'est Neptune.

À 400 km d'altitude, la pesanteur vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol. Les astronautes de l'ISS flottent parce qu'ils tombent en permanence, comme la station, en avançant assez vite pour toujours manquer la Terre.

Sources pour creuser

• Jean-Pierre Luminet, La Discorde céleste. Kepler et le trésor de Tycho Brahé (roman historique).
• Arthur Koestler, Les Somnambules : l'histoire de l'astronomie jusqu'à Newton, avec une longue partie sur la vie de Kepler.
• YouTube : ScienceEtonnante, e-penser ; cherche « lois de Kepler terminale ».
• La simulation PhET « Gravité et orbites », en français.
• lumni.fr (Lycée › Terminale), cnes.fr et le programme sur eduscol.education.fr.