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La loi binomiale : compter les succès du hasard

Terminale · Mathématiques · environ 15 min

Imagine que tu joues 10 fois à pile ou face. Combien de fois vas-tu obtenir « pile » ? Peut-être 4, peut-être 6, rarement 0 ou 10… Le hasard fait varier le résultat, mais il obéit à une loi mathématique précise. C'est exactement ce que décrit la loi binomiale : elle sert à compter les succès quand on répète plusieurs fois la même expérience aléatoire.

Probabilités : l'arbre Un dé à six faces représente une expérience au hasard. L'arbre des possibles part d'un point et se sépare en autant de branches que d'issues : ici six branches, une par face. Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité, une chance sur six. une expérience ⋮ 1/6 1/6 1/6 1/6 6 issues, chacune p = 1/6
L'arbre des issues possibles pour visualiser les répétitions indépendantes

1. Le point de départ : l'épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues : « succès » (probabilité p) ou « échec » (probabilité 1-p).

Exemple : lancer un dé et gagner si on obtient un 6. Ici, succès = « faire 6 », donc p = 16, et échec = 56.

2. Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale

Quand on répète n fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli, on obtient un schéma de Bernoulli. On note X le nombre de succès parmi ces n répétitions.

On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée :

X suit la loi B(n, p)

La probabilité d'obtenir exactement k succès est :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)
Probabilités : l'arbre Un dé à six faces représente une expérience au hasard. L'arbre des possibles part d'un point et se sépare en autant de branches que d'issues : ici six branches, une par face. Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité, une chance sur six. une expérience ⋮ 1/6 1/6 1/6 1/6 6 issues, chacune p = 1/6
Chemins vers k succès parmi n : le coefficient binomial compte ces chemins

Ici C(n, k) (le coefficient binomial, lu « k parmi n ») compte le nombre de façons de placer les k succès parmi les n répétitions. Tu le trouves avec ta calculatrice (touche nCr).

3. Un exemple complet

Je lance 5 fois un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois un 6 ?

Ici n = 5, p = 16, k = 2 :

P(X = 2) = binom{52 (16)² (56)³ = 10 × 136 × 125216 ≈ 0{,}161

Il y a donc environ 16 % de chances.

4. Espérance, variance, écart-type

Ces formules sont très utiles et rapides à appliquer :

  • Espérance (valeur moyenne attendue) : E(X) = np
  • Variance : V(X) = np(1-p)
  • Écart-type : sigma(X) = √np(1-p)

Exemple : avec n = 5 et p = 16, on attend en moyenne E(X) = 5 × 16 ≈ 0{,}83 six sur 5 lancers. Logique !

À retenir

  • Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (proba p) et échec (proba 1-p).
  • Répéter n fois de manière indépendante donne un schéma de Bernoulli ; le nombre de succès suit la loi B(n, p).
  • Formule clé : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Espérance : E(X) = np ; variance : V(X) = np(1-p).
  • Pense à vérifier les conditions : nombre fixe de répétitions, indépendance, même probabilité à chaque fois.

Corrections

Exercice 1. E(X) = np = 6 × 0,4 = 2,4. En moyenne, on obtient 2,4 piles sur 6 lancers.

Exercice 2. Ici n=4, p = 14, k=1 :

P(X=1) = binom{41(14)¹(34)³ = 4 × 14 × 2764 = 2764 ≈ 0{,}422

Exercice 3. n=10, p = 14, k=3 :

P(X=3) = binom{103(14)³(34)⁷ = 120 × 164 × 218716384 ≈ 0{,}250

Environ 25 % de chances : répondre au hasard n'est vraiment pas fiable !