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Exponentielle et logarithme : le duo qui domine le calcul

Terminale · Mathématiques · environ 15 min

Tu ouvres ton téléphone : la batterie perd de la charge un peu plus vite quand elle est pleine. Un compte épargne grossit d'autant plus vite qu'il contient déjà beaucoup. Une population de bactéries double, encore et encore… Tous ces phénomènes ont un point commun : ils changent proportionnellement à eux-mêmes. C'est exactement ce que décrit la fonction exponentielle, et son inverse, le logarithme népérien, permet de « redescendre » de ces croissances vertigineuses. Ce cours te donne les outils pour les étudier.

1. La fonction exponentielle

Exponentielle et logarithme Un repère carré. Une droite en pointillés d'équation y = x traverse l'origine à quarante-cinq degrés. La courbe orange de l'exponentielle monte de plus en plus vite et passe par le point de coordonnées zéro et un. La courbe bleue du logarithme monte de plus en plus lentement et passe par le point un et zéro. Les deux courbes sont l'image miroir l'une de l'autre par rapport à la droite y = x : la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. y = x exp ln (0 ; 1) (1 ; 0) réciproques : symétriques par rapport à y = x
La fonction exponentielle (croissance rapide) et la fonction logarithme népérien (sa réciproque)

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, est l'unique fonction égale à sa propre dérivée qui vaut 1 en 0 :

(e^x)' = e^x et e⁰ = 1

Propriétés algébriques (comme les puissances) :

  • e^a × e^b = e^a+b
  • e^ae^b = e^a-b
  • (e^a)ⁿ = e^na

Signe et variations : pour tout x, e^x > 0. Comme sa dérivée e^x est toujours positive, e^x est strictement croissante.

Limites clés :

lim_x → +∞ e^x = +∞ lim_x → -∞ e^x = 0

L'exponentielle « écrase » les polynômes : lim (x→+∞)e^xx=+∞.

2. Le logarithme népérien

Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle. Défini pour x > 0 :

ln(e^x) = x e^ln x = x

Sa dérivée est simple :

(ln x)' = 1x

Comme 1/x > 0 sur ]0;+∞[, ln est strictement croissante.

Propriétés algébriques (elles transforment les produits en sommes !) :

  • ln(ab) = ln a + ln b
  • ln(ab) = ln a - ln b
  • ln(aⁿ) = nln a
  • ln 1 = 0 et ln e = 1
Exponentielle et logarithme Un repère carré. Une droite en pointillés d'équation y = x traverse l'origine à quarante-cinq degrés. La courbe orange de l'exponentielle monte de plus en plus vite et passe par le point de coordonnées zéro et un. La courbe bleue du logarithme monte de plus en plus lentement et passe par le point un et zéro. Les deux courbes sont l'image miroir l'une de l'autre par rapport à la droite y = x : la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. y = x exp ln (0 ; 1) (1 ; 0) réciproques : symétriques par rapport à y = x
Les propriétés algébriques du logarithme : transformer un produit en somme

Limites :

lim_x→ 0^+ln x = -∞ lim_x→+∞ln x = +∞

3. Étudier une fonction : la méthode

Pour étudier f, tu suis toujours ces étapes :

  1. Domaine de définition (attention : ln exige un argument >0).
  2. Limites aux bornes du domaine.
  3. Dérivée f'(x), puis son signe.
  4. Tableau de variations.

Exemple 1. f(x) = e^2x. f'(x) = 2e^2x (dérivée de e^u est u'e^u, ici u=2x). Comme 2e^2x>0, f est croissante partout.

Exemple 2. f(x) = x - ln x sur ]0;+∞[. f'(x) = 1 - 1/x = x-1x. Le signe dépend de x-1 : négatif pour x<1, positif pour x>1. Donc f décroît puis croît, avec un minimum en x=1 : f(1)=1-ln 1 = 1.

Exemple 3. Résoudre e^x = 5. On applique ln des deux côtés : x = ln 5 ≈ 1,61.

À retenir

  • e^x est sa propre dérivée, toujours strictement positive et croissante.
  • ln est la réciproque de e^x, définie pour x>0, de dérivée 1/x.
  • Le logarithme transforme un produit en somme et une puissance en produit.
  • Pour résoudre e^x=k : x=ln k (si k>0). Pour ln x = k : x = e^k.
  • Étudier une fonction = domaine, limites, dérivée, signe, tableau de variations.

Corrections

Ex 1. ln(e³)=3, ln 1 = 0, ln e = 1. Donc 3 + 0 - 1 = mathbf2.

Ex 2. On applique ln : 2x = ln 7, donc x = ln 72 ≈ 0,97.

Ex 3. f'(x) = e^x - 1. Or e^x - 1 > 0 iff e^x > 1 iff x > 0. Donc f décroît sur ]-∞;0] et croît sur [0;+∞[. Minimum en x=0 : f(0)=e⁰-0=mathbf1.