Je déplie les boîtes : cubes, prismes, pyramides et leurs patrons

Regarde autour de toi : un dé, une boîte de céréales, une boîte de conserve, la pyramide de verre du musée du Louvre… Tous ces objets sont des solides : ils ont une longueur, une largeur et une hauteur. Et si tu ouvres délicatement une boîte en carton pour l'étaler à plat sur la table, tu obtiens la figure qui a servi à la fabriquer : son patron. Aujourd'hui, tu deviens ingénieur des boîtes !

1. Le vocabulaire des solides

• une face est une surface plate du solide (le dessus d'une boîte) ;
• une arête est un segment où deux faces se rencontrent (le pli d'une boîte) ;
• un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent (le coin d'une boîte).

Les solides dont toutes les faces sont plates s'appellent des polyèdres : le cube, le pavé droit, le prisme et la pyramide en font partie. Le cylindre, lui, a une surface courbe : il peut rouler !

2. La famille des solides

Le cube : 6 faces carrées identiques, 12 arêtes de même longueur, 8 sommets. Exemple : un dé à jouer.

Le pavé droit : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes, 8 sommets ; ses faces opposées sont identiques deux à deux. Exemple : une boîte à chaussures. Le cube est un pavé droit particulier, dont toutes les faces sont des carrés.

Le prisme droit : deux faces identiques et parallèles, appelées les bases (par exemple des triangles), et des faces rectangulaires tout autour. Le prisme à base triangulaire a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets. Exemple : une tente « canadienne », fermée par deux triangles.

La pyramide : une base (un polygone) et des faces triangulaires qui se rejoignent toutes en un même sommet, en haut. La pyramide à base carrée a 5 faces, 8 arêtes et 5 sommets. Exemple : les pyramides d'Égypte.

Le cylindre : deux disques identiques et parallèles, joints par une surface courbe. Il n'a aucun sommet. Exemple : une boîte de conserve.

Exemple 1 : compter sans se tromper. Sur un pavé droit, compte les arêtes par étage : 4 en haut, 4 en bas et 4 debout, soit 12 arêtes ; et 4 sommets en haut, 4 en bas, soit 8. Sur une pyramide à base carrée : 4 arêtes autour de la base et 4 qui montent, soit 8 arêtes ; 4 sommets en bas et 1 en haut, soit 5.

3. Dessiner un solide en perspective

On dessine souvent les solides en perspective cavalière : la face avant en vraie grandeur, les arêtes qui partent vers l'arrière en biais et raccourcies, les arêtes cachées en pointillés. Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.

Exemple 2 : dessiner un cube. Trace un carré : c'est la face avant. Trace le même carré, un peu décalé vers le haut et vers la droite : c'est la face arrière, avec ses traits cachés en pointillés. Joins enfin chaque sommet de l'avant au sommet correspondant de l'arrière.

4. Les patrons : déplier pour mieux construire

Un patron est une figure plane, d'un seul morceau, que l'on peut plier pour fabriquer le solide, sans que deux faces se recouvrent. Le patron contient exactement toutes les faces du solide.

• Patron du cube : 6 carrés identiques. Le plus connu a la forme d'une croix : une bande de 4 carrés, avec un carré au-dessus et un carré en dessous.
• Patron du pavé droit : 6 rectangles, identiques deux à deux.
• Patron de la pyramide à base carrée : un carré, et un triangle posé sur chacun de ses quatre côtés, comme une étoile à quatre branches.
• Patron du prisme à base triangulaire : 3 rectangles côte à côte et 2 triangles.
• Patron du cylindre : un rectangle et deux disques ; la longueur du rectangle fait exactement le tour d'un disque.

Le patron du cube en croix :

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Exemple 3 : ce patron de cube fonctionne-t-il ? Choisis un carré qui sera le fond de la boîte, puis replie dans ta tête les autres carrés autour de lui. Si deux carrés arrivent au même endroit, ce n'est pas un patron. Ainsi, 6 carrés alignés en une seule rangée ne forment pas un patron : le cinquième et le sixième carrés retombent sur le premier et le deuxième, et il manque le dessus et le dessous. En cas de doute, découpe et plie !

Il existe exactement 11 patrons différents du cube. Sauras-tu en trouver plusieurs ?

À retenir

• Une face est une surface plate, une arête un segment où deux faces se rencontrent, un sommet un point où se rejoignent des arêtes.
• Cube et pavé droit : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. Pyramide à base carrée : 5 faces, 8 arêtes, 5 sommets. Prisme à base triangulaire : 5 faces, 9 arêtes, 6 sommets.
• Le cylindre a deux disques et une surface courbe : aucun sommet.
• Un patron se plie pour former le solide, sans que deux faces se recouvrent ; le cube a 11 patrons.
• En perspective cavalière, les arêtes cachées sont en pointillés.

★ Pour aller plus loin

Au XVIIIᵉ siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler a remarqué une formule étonnante, valable pour le cube, le pavé, le prisme ou la pyramide : faces + sommets − arêtes = 2. Vérifie avec le cube : 6 + 8 − 12 = 2. Avec la pyramide à base carrée : 5 + 5 − 8 = 2.

Il n'existe que cinq polyèdres sans creux dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques, avec le même nombre de faces à chaque sommet : on les appelle les solides de Platon. Tu les connais peut-être sans le savoir : ce sont les dés à 4, 6, 8, 12 et 20 faces de certains jeux de société.