School 47
Se connecter

Le trio des nombres : relatifs, puissances et fractions

Quatrième · Mathématiques · environ 20 min

Imagine : tu joues à un jeu vidéo. Tu perds 5 points, puis tu en gagnes 8. Où en es-tu ? Tu regardes la température : il faisait −3°C ce matin, et il fait +7°C cet après-midi. Combien la température a-t-elle grimpé ? Et quand tu lis qu'une bactérie mesure 0,000002 m, comment écrire ce nombre sans se noyer dans les zéros ? Les mathématiques ont des outils puissants pour tout ça : les nombres relatifs, les puissances et les fractions. Aujourd'hui, on maîtrise ce trio !

1. Les nombres relatifs : additions et multiplications

Un nombre relatif, c'est un nombre avec un signe : + (positif) ou − (négatif).

Les nombres relatifs Une droite graduée où le zéro sépare deux camps : à droite les nombres positifs, à gauche les nombres négatifs. Un repère glisse de zéro vers la gauche jusqu'à moins deux. En dessous, la règle des signes : deux signes identiques donnent un produit positif, deux signes contraires un produit négatif. −4−3−2−1 0 1234 (+) × (+) = + (−) × (−) = + (+) × (−) = −
Les nombres relatifs : positifs (+) et négatifs (−) sur la droite graduée avec le zéro.

Additionner deux relatifs :

  • Mêmes signes → j'additionne et je garde le signe. Exemple : (−3) + (−5) = −8

  • Signes différents → je soustrais et je garde le signe du « plus fort ». Exemple : (−3) + (+7) = +4 (car 7 gagne contre 3, écart de 4).

Multiplier (ou diviser) deux relatifs, règle des signes :

  • (+) × (+) = + et (−) × (−) = +
  • (+) × (−) = − et (−) × (+) = −

Exemple : (−4) × (−6) = +24 ; (−4) × (+6) = −24.

2. Les puissances et l'écriture scientifique

Une puissance, c'est une multiplication répétée du même nombre. a^n = a × a × ... × a (n fois).

Exemple : 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Les puissances de 10 sont magiques :

  • 10^3 = 1000 (3 zéros)
  • 10⁻³ = 0,001 (le nombre devient tout petit)
Puissances de 10 Dix puissance trois, c'est dix multiplié trois fois par lui-même, soit mille. L'écriture scientifique s'appuie là-dessus : le nombre 3400 s'écrit 3,4 fois dix puissance trois, en déplaçant la virgule de trois rangs vers la gauche. 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 3400 3 rangs = 3,4 × 103 écriture scientifique : a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10)
Puissances de 10 : 10³ = 1000 (agrandissement) et 10⁻³ = 0,001 (rétrécissement).

L'écriture scientifique d'un nombre = a × 10^n, où a est un nombre entre 1 et 10 (1 inclus, 10 exclu).

Exemple 1 : 45 000 = 4,5 × 10^4 (la virgule a « sauté » 4 rangs). Exemple 2 : 0,000002 = 2 × 10⁻⁶ (nombre très petit → exposant négatif).

3. Le calcul fractionnaire complet

Additionner/soustraire : il faut le même dénominateur ! 3/4 + 1/6 → dénominateur commun 12 → 9/12 + 2/12 = 11/12.

Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. 2/3 × 5/7 = 10/21.

Diviser : je multiplie par l'inverse. 2/3 ÷ 5/4 = 2/3 × 4/5 = 8/15.

Astuce : simplifie quand tu peux ! 6/8 = 3/4 (on divise haut et bas par 2).

À retenir

  • Additionner des relatifs : mêmes signes → j'ajoute ; signes opposés → je soustrais et je garde le signe du plus grand.
  • Règle des signes : deux signes identiques donnent +, deux signes opposés donnent −.
  • a^n = le nombre a multiplié n fois par lui-même ; 10⁻ⁿ rend le nombre petit.
  • Écriture scientifique : a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.
  • Fractions : même dénominateur pour +/− ; multiplier « en ligne » ; diviser = multiplier par l'inverse.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que les nombres négatifs ont mis très longtemps à être acceptés ? Jusqu'au XVIᵉ siècle, beaucoup de mathématiciens les appelaient des nombres « faux » ou « absurdes » ! Pourtant, aujourd'hui, sans eux, impossible de parler de températures, de comptes bancaires ou d'altitudes sous le niveau de la mer.

L'écriture scientifique est l'outil préféré des astronomes et des physiciens. La distance Terre–Soleil ? Environ 1,5 × 10¹¹ m. La masse d'un électron ? Environ 9,1 × 10⁻³¹ kg. Écrire tous ces zéros serait un cauchemar : la puissance de 10 fait tout le travail !

Enfin, une curiosité : 10^0 = 1. Oui, n'importe quel nombre (sauf 0) élevé à la puissance 0 donne 1. Étrange ? C'est une règle logique qui garde toute la cohérence du calcul des puissances. Tu la démontreras plus tard, en classe supérieure !

Sources pour creuser

Livres :

  • « Le théorème du parapluie » de Mickaël Launay (Flammarion) — pour découvrir les maths autrement, dès 13 ans.
  • « Les Maths, ça sert à rien ? (sauf à décrocher son bac et plus si affinités) » de Cédric Villani et collectif — accessible aux collégiens curieux.

Vidéos / chaînes YouTube :

  • Chaîne Micmaths (Mickaël Launay) : cherche « puissances de 10 » ou « nombres négatifs ».
  • Chaîne Yvan Monka (maths et tiques) : cherche « nombres relatifs 4e » et « écriture scientifique 4e » — vidéos calibrées exactement pour ton niveau.

Ressources institutionnelles :

  • lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, cherche « fractions » et « nombres relatifs ».
  • maths-et-tiques.fr : fiches et exercices gratuits classés par niveau (4ᵉ).