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La lettre qui cache un nombre : développe, factorise, résous !

Quatrième · Mathématiques · environ 20 min

◎ Le mystère de la lettre magique

Imagine : tu achètes 3 stylos et 3 gommes. Chaque stylo coûte le même prix, chaque gomme aussi. Comment écrire le prix total sans connaître encore ces prix ? Les mathématiciens ont trouvé une astuce géniale : remplacer un nombre inconnu par une lettre. C'est le calcul littéral ! La lettre (souvent x, a ou k) est un nombre déguisé qui attend qu'on le découvre. Dans ce cours, tu vas apprendre à jongler avec ces lettres comme un vrai magicien des maths.

La leçon pas à pas

1. Développer : faire tomber les parenthèses

Développer, c'est transformer un produit en une somme. On utilise la distributivité :

Développer et factoriser Le modèle de l'aire. Un rectangle de hauteur k et de largeur (a + b) est coupé en deux : à gauche l'aire k×a, à droite l'aire k×b. Leur somme est l'aire totale k(a + b). Développer va du rectangle entier vers les deux parts ; factoriser fait le chemin inverse. a b k k × a k × b k (a + b) = k×a + k×b développer → ← factoriser
La distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a + b) = k × a + k × b

On multiplie le nombre de devant par chaque terme de la parenthèse.

Exemple 1 :

3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15

Exemple 2 (avec un moins, attention aux signes !) :

4(2x - 3) = 4 × 2x - 4 × 3 = 8x - 12

! Si un signe – est devant la parenthèse, il change tous les signes à l'intérieur :

-(x - 7) = -x + 7

2. Factoriser : remettre les parenthèses

Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit. On cherche un facteur commun présent dans chaque terme.

Exemple 3 :

6x + 6 × 4

Ici, 6 est commun :

6x + 24 = 6(x + 4)

Exemple 4 :

5x + 10 = 5 × x + 5 × 2 = 5(x + 2)

Le truc : cherche « qu'est-ce qui se répète dans les deux morceaux ? »

3. Résoudre une équation du premier degré

L'équation : la balance Une balance à deux plateaux. À gauche le plateau porte x + 3, à droite il porte 8 : les deux plateaux sont à la même hauteur, la balance est équilibrée. Résoudre l'équation, c'est faire la même opération des deux côtés pour garder l'équilibre. x + 3 = 8 x + 3 8 on garde toujours l'équilibre
Une équation : garder l'équilibre des deux côtés du signe =

Une équation est une égalité avec une inconnue. La résoudre, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. On garde toujours l'équilibre : ce qu'on fait d'un côté du signe =, on le fait de l'autre.

Exemple 5 : Résous

2x + 3 = 11

  • J'enlève 3 des deux côtés :
    2x = 11 - 3 = 8
  • Je divise par 2 des deux côtés :
    x = 82 = 4
  • Vérification : 2 × 4 + 3 = 11

Exemple 6 : Résous

5x - 2 = 3x + 6

  • Je rassemble les x à gauche :
    5x - 3x - 2 = 6
    donc
    2x - 2 = 6
  • J'ajoute 2 :
    2x = 8
  • Je divise par 2 :
    x = 4

À retenir

  • Développer : k(a+b) = ka + kb → on supprime les parenthèses.
  • Factoriser : on met en évidence le facteur commun (opération inverse).
  • Attention aux signes : un « – » devant une parenthèse change tout à l'intérieur.
  • Résoudre une équation : on fait la même opération des deux côtés du « = ».
  • Toujours vérifier sa solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que la lettre x pour désigner l'inconnue vient d'une longue histoire ? Les mathématiciens arabes du Moyen Âge, comme Al-Khwârizmî (dont le nom a donné le mot « algorithme »), appelaient l'inconnue « al-shay », « la chose ». Plus tard, en Espagne, ce son a été noté par une lettre proche du x, et l'habitude est restée !

Au lycée, tu rencontreras des équations du second degré, où x est au carré (x²). On développera des expressions comme (a+b)² = a² + 2ab + b² : ce sont les fameuses identités remarquables. Le calcul littéral que tu apprends aujourd'hui en est la fondation.

Enfin, sais-tu que le calcul littéral sert à programmer des jeux vidéo, calculer des trajectoires de fusées ou prévoir la météo ? Chaque fois qu'on ne connaît pas encore un nombre mais qu'on veut raisonner dessus, la lettre magique entre en scène. Tu tiens là un outil universel !

Sources pour creuser

Livres :

  • Les Maths, c'est magique ! — collection à consulter en librairie pour la 4e (éditions variées, choisis un cahier de 4e conforme au programme).
  • Maths 4e — collection Sésamath (manuel libre et gratuit, disponible sur sesamath.net), excellent pour s'entraîner.

Vidéos YouTube (chaînes réelles) :

  • Chaîne Yvan Monka (maths et tiques) : cherche « Développer une expression 4ème » et « Résoudre une équation 4ème ». Explications très claires, spécial collège.
  • Chaîne Les Bons Profs : cherche « Calcul littéral 4ème développer factoriser ».

Ressources institutionnelles :

  • lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, fiches et vidéos sur le calcul littéral.
  • sesamath.net et mathenpoche.sesamath.net : exercices interactifs gratuits corrigés automatiquement.
  • education.gouv.fr : programme officiel de mathématiques du cycle 4.