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Pyramides et cônes : je remplis l'espace pointu !

Quatrième · Mathématiques · environ 20 min

Tu as déjà mangé un cornet de glace ? Ou observé une tente canadienne, une pyramide égyptienne, un chapeau de fête pointu ? Tous ces objets ont un point commun : ils montent en pointe. On les appelle des pyramides et des cônes. Aujourd'hui, tu vas apprendre à calculer combien d'espace ils occupent : leur volume. Et comme un cornet peut contenir de la glace, tu verras aussi comment passer du volume à la capacité (litres, millilitres...).

La leçon pas à pas

1. Reconnaître les solides

Une pyramide a une base qui est un polygone (carré, triangle, rectangle...) et un sommet pointu au-dessus. Un cône de révolution est comme une pyramide, mais sa base est un disque (un cercle). On les obtient tous les deux en reliant une base à un point : le sommet.

Prismes et volumes Deux solides dessinés en volume. À gauche un pavé droit : on voit sa face avant, son dessus et son côté ; son volume est la longueur multipliée par la largeur puis par la hauteur. À droite un cylindre avec ses deux disques et son rayon ; son volume est pi multiplié par le rayon au carré puis par la hauteur. V = L × l × h r V = π × r² × h
Pyramide et cône : reconnaître les solides et leur hauteur perpendiculaire

Dans les deux cas, une mesure essentielle est la hauteur : c'est la distance entre le sommet et la base, mesurée perpendiculairement (bien droite, à 90°).

2. La formule magique (la même pour les deux !)

V = 13 × B × h
  • B = aire de la base
  • h = hauteur
  • Le 13 vient du fait qu'une pyramide occupe trois fois moins qu'un prisme de même base et même hauteur.

Pour le cône, la base est un disque de rayon r, donc son aire est π × r². La formule devient :

V = 13 × π × r² × h

3. Exemple avec une pyramide

Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm.

Prismes et volumes Deux solides dessinés en volume. À gauche un pavé droit : on voit sa face avant, son dessus et son côté ; son volume est la longueur multipliée par la largeur puis par la hauteur. À droite un cylindre avec ses deux disques et son rayon ; son volume est pi multiplié par le rayon au carré puis par la hauteur. V = L × l × h r V = π × r² × h
Exemple : pyramide à base carrée avec hauteur et dimensions
  • Aire de la base : 6 × 6 = 36 \ cm²
  • Volume : V = 13 × 36 × 10 = 3603 = 120 \ cm³

4. Exemple avec un cône

Un cône a un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 7 cm.

  • V = 13 × π × 3² × 7 = 13 × π × 9 × 7 = 63π3 = 21π
  • Valeur approchée : 21 × 3,14 ≈ 65,9 \ cm³

5. Les conversions

Pour les volumes, on va de 1000 en 1000 :

1 \ m³ = 1000 \ dm³ 1 \ dm³ = 1000 \ cm³

Pour la capacité :

1 \ L = 1 \ dm³ 1 \ mL = 1 \ cm³

Exemple : un cône a un volume de 65,9 \ cm³. Comme 1 \ cm³ = 1 \ mL, il peut contenir 65,9 \ mL, soit environ 0,066 \ L.

À retenir

  • Pour une pyramide et un cône : V = 13 × B × h.
  • Pour un cône, l'aire de la base est π r², donc V = 13 π r² h.
  • La hauteur est perpendiculaire à la base (attention à ne pas confondre avec une arête inclinée !).
  • Conversions de volume : de 1000 en 1000 (m³ → dm³ → cm³).
  • 1 \ L = 1 \ dm³ et 1 \ mL = 1 \ cm³.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu pourquoi il y a un 13 dans la formule ? Si tu remplis trois petites pyramides identiques (avec du sable ou de l'eau), tu peux exactement remplir un cube ou un prisme de même base et même hauteur. C'est une expérience que faisaient déjà les mathématiciens grecs il y a plus de 2000 ans ! Archimède en était fasciné.

La grande pyramide de Gizeh, en Égypte, a une base carrée d'environ 230 m de côté et mesurait 146 m de haut. Avec la formule, son volume dépasse 2,5 millions de m³ ! C'est pour ça qu'il a fallu des millions de blocs de pierre.

Enfin, le cône cache une jolie surprise : si tu coupes un cône par un plan incliné, tu obtiens des courbes appelées ellipse, parabole ou hyperbole. Ce sont les « sections coniques », étudiées au lycée et utilisées pour décrire l'orbite des planètes !

Sources pour creuser

Livres :

  • Maths 4e (collection Sésamath, disponible gratuitement sur le site Sésamath / manuel.sesamath.net) — chapitres sur les volumes.
  • Le théorème du parapluie de Mickaël Launay (pour découvrir les maths de façon vivante, dont la géométrie de l'espace).

Vidéos YouTube (chaînes réelles) :

  • Chaîne Yvan Monka (jaicompris Maths / Maths et tiques) : cherche « volume pyramide cône 4e Monka ».
  • Chaîne Les Bons Profs : cherche « Volume d'une pyramide et d'un cône 4e ».
  • Chaîne Micmaths (Mickaël Launay) : vidéos sur la géométrie et les solides.

Ressources institutionnelles :

  • lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, recherche « volume solides ».
  • education.gouv.fr : programme officiel de mathématiques du cycle 4.