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La parabole apprivoisée : maîtriser le second degré

Seconde · Mathématiques · environ 20 min

Imagine que tu lances un ballon de basket vers le panier. Sa trajectoire dessine une belle courbe : elle monte, atteint un sommet, puis redescend. Cette courbe s'appelle une parabole, et elle est décrite par une fonction du second degré. Que tu joues à un jeu vidéo, que tu observes un jet d'eau ou que tu calcules l'aire d'un terrain, le second degré est partout. Aujourd'hui, tu vas apprendre à le dompter.

Qu'est-ce qu'une fonction du second degré ?

Une fonction polynôme du second degré (ou fonction trinôme) s'écrit sous la forme :

f(x) = ax² + bx + c

où a, b et c sont des nombres réels, avec a ≠ 0 (sinon il n'y aurait pas de x² !).

Sa représentation graphique est toujours une parabole :

  • Si a > 0, elle est tournée vers le haut (comme un sourire ) : elle admet un minimum.
  • Si a < 0, elle est tournée vers le bas (comme une moue ) : elle admet un maximum.
La fonction du second degré Un repère avec une parabole tournée vers le haut : la représentation graphique d'une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, les racines x₁ et x₂. Son point le plus bas est le sommet. Une droite verticale en pointillés, l'axe de symétrie, passe par le sommet. Le discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines : positif il y en a deux, nul une seule, négatif aucune. f(x) = a·x² + b·x + c x₁ x₂ sommet Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines
La parabole : tournée vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0)

Le sommet : le point clé

Le sommet de la parabole a pour abscisse :

α = -b2a

et pour ordonnée β = f(α). C'est là que la courbe change de sens.

La fonction du second degré Un repère avec une parabole tournée vers le haut : la représentation graphique d'une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, les racines x₁ et x₂. Son point le plus bas est le sommet. Une droite verticale en pointillés, l'axe de symétrie, passe par le sommet. Le discriminant Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines : positif il y en a deux, nul une seule, négatif aucune. f(x) = a·x² + b·x + c x₁ x₂ sommet Δ = b² − 4ac décide du nombre de racines
Le sommet (α ; β) : point clé où la parabole change de sens

Exemple 1 : Soit f(x) = 2x² - 8x + 5. Ici a = 2 > 0 : parabole tournée vers le haut, donc un minimum. α = -(-8)2 × 2 = 84 = 2. β = f(2) = 2(4) - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3. Le sommet est le point (2 ; -3), qui est un minimum.

Résoudre une équation du second degré

Résoudre ax² + bx + c = 0, c'est trouver les x pour lesquels la parabole coupe l'axe des abscisses. On utilise le discriminant :

Δ = b² - 4ac
  • Si Δ > 0 : deux solutions x₁ = frac-b - √Δ2a et x₂ = frac-b + √Δ2a.
  • Si Δ = 0 : une seule solution x₀ = -b2a.
  • Si Δ < 0 : aucune solution réelle.

Exemple 2 : Résous x² - 5x + 6 = 0. a=1, b=-5, c=6. Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0. x₁ = 5 - 12 = 2 et x₂ = 5 + 12 = 3. Les solutions sont 2 et 3.

Exemple 3 : Résous x² + 4x + 4 = 0. Δ = 16 - 16 = 0. Une seule solution : x₀ = -42 = -2.

À retenir

  • Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole.
  • Si a > 0 la parabole a un minimum, si a < 0 un maximum.
  • Le sommet a pour abscisse α = -b2a.
  • Le discriminant Δ = b² - 4ac donne le nombre de solutions : 2 si Δ > 0, 1 si Δ = 0, 0 si Δ < 0.
  • Les solutions se calculent avec x = frac-b ± √Δ2a.

Corrections

Exercice 1 : a = -1 < 0 donc la parabole a un maximum. α = -62 × (-1) = -6-2 = 3. β = f(3) = -(9) + 18 - 5 = 4. Le sommet est (3 ; 4), un maximum.

Exercice 2 : a=2, b=-7, c=3. Δ = 49 - 24 = 25 > 0, donc √Δ = 5. x₁ = 7 - 54 = 24 = 0,5 et x₂ = 7 + 54 = 3. Les solutions sont 0,5 et 3.

Exercice 3 : Δ = 1² - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0. L'équation n'a aucune solution réelle.

Bravo, tu sais désormais lire, résoudre et représenter une fonction du second degré ! ◎