La machine à calculer : programmes de calcul et lettres magiques

Imagine une machine étrange. Tu lui donnes un nombre, elle fait plein de choses avec, et elle te recrache un résultat. Un peu comme un distributeur de bonbons : tu mets une pièce, tu appuies, et hop, un bonbon sort !

En mathématiques, on appelle ça un programme de calcul. C'est une suite d'instructions à appliquer dans l'ordre à un nombre de départ. Aujourd'hui, tu vas apprendre à faire fonctionner ces machines... et même à écrire ce qu'elles font grâce à une lettre magique. Prêt ? On démarre !

1. Qu'est-ce qu'un programme de calcul ?

Un programme de calcul, c'est une recette. Regarde celle-ci :

Programme A 1. Choisis un nombre. 2. Ajoute 3. 3. Multiplie le résultat par 2.

Testons avec le nombre 5 :

• Étape 1 : je choisis 5
• Étape 2 : 5 + 3 = 8
• Étape 3 : 8 × 2 = 16

Le résultat est 16. Attention à l'ordre ! On fait les étapes une par une, dans le bon sens.

Testons maintenant avec 10 :

• Étape 1 : 10
• Étape 2 : 10 + 3 = 13
• Étape 3 : 13 × 2 = 26

Le résultat est 26. Tu vois : la même machine, mais un nombre de départ différent donne un résultat différent.

2. Attention à l'ordre des opérations !

Regarde ce Programme B :

1. Choisis un nombre.
2. Multiplie par 2.
3. Ajoute 3.

Avec 5 :

• 5 × 2 = 10
• 10 + 3 = 13

Résultat : 13. Ce n'est PAS le même que le Programme A (qui donnait 16 pour 5) ! Pourtant on utilise les mêmes nombres. L'ordre change tout, comme dans une recette de cuisine : casser l'œuf avant de le cuire, ce n'est pas pareil que l'inverse !

3. La lettre magique

Faire les calculs un par un pour chaque nombre, c'est long. Les mathématiciens ont eu une idée géniale : remplacer « le nombre choisi » par une lettre. On choisit souvent n (comme « nombre ») ou x.

Reprenons le Programme A avec la lettre n :

• Je choisis n
• J'ajoute 3 : n + 3
• Je multiplie par 2 : (n + 3) × 2

L'expression (n + 3) × 2 décrit TOUT le programme en une seule ligne ! Les parenthèses montrent qu'on additionne avant de multiplier.

Si n = 5, on remplace : (5 + 3) × 2 = 8 × 2 = 16. On retrouve bien notre résultat ! La lettre permet de généraliser : une seule écriture pour tous les nombres possibles.

À retenir

• Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées dans l'ordre à un nombre de départ.
• L'ordre des opérations compte : changer l'ordre change souvent le résultat.
• On peut remplacer le nombre choisi par une lettre (n, x...) pour écrire le programme en une seule expression.
• Les parenthèses servent à indiquer quelle opération faire en premier.
• Remplacer la lettre par un nombre s'appelle substituer (ou « donner une valeur »).

★ Pour aller plus loin

Sais-tu que certains programmes de calcul cachent un tour de magie ? Essaie celui-ci : « Choisis un nombre, multiplie par 2, ajoute 10, divise par 2, enlève le nombre du départ. » Quel que soit ton nombre, tu obtiens toujours 5 ! Avec la lettre n, on peut démontrer pourquoi : c'est ça, la puissance de l'algèbre.

L'usage des lettres en mathématiques est assez récent dans l'histoire. C'est un savant français, François Viète, qui a beaucoup développé cette idée vers l'an 1600. Avant lui, on écrivait tout avec des mots, ce qui était très compliqué !

Plus tard, au collège, ces lettres deviendront des équations. Tu apprendras à retrouver le nombre de départ quand on ne connaît que le résultat, comme un détective qui remonte la piste à l'envers.

Sources pour creuser

Livres :

• Les Maths, c'est magique ! — collection « Mes petites questions », éditions Milan (pour découvrir les maths autrement).
• Le Théorème du perroquet de Denis Guedj (roman d'aventures mathématiques, pour les plus curieux, à lire avec un adulte).

Vidéos / chaînes YouTube francophones :

• Chaîne Maths et tiques (Yvan Monka) : cherche « programme de calcul 6ème » ou « calcul littéral introduction ».
• Chaîne Micmaths (Mickaël Launay) : vidéos sur les tours de magie mathématiques.

Ressources institutionnelles :

• lumni.fr : rubrique Mathématiques cycle 3, cherche « programme de calcul ».
• education.gouv.fr : programmes officiels de mathématiques du cycle 3.