Deux fois le hasard : arbres et tableaux pour ne rien oublier

Quand le hasard frappe deux fois

Imagine : tu lances une pièce de monnaie, puis tu tires une carte. Ou bien tu lances deux dés d'un coup pour avancer au jeu de société. Dans ces situations, le hasard intervient deux fois de suite : ce sont des expériences aléatoires à deux épreuves.

Le vrai problème ? Compter TOUTES les possibilités sans en oublier une seule. Car pour calculer une probabilité juste, il faut connaître le nombre exact d'issues possibles. Heureusement, deux outils magiques existent : l'arbre et le tableau. Ce sont tes filets pour attraper toutes les issues !

La leçon pas à pas

Rappel express : une probabilité se calcule ainsi :

Un événement certain vaut 1, un événement impossible vaut 0.

Exemple 1 : le tableau à double entrée

Tu lances deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues possibles ?

On construit un tableau : les lignes pour le premier dé, les colonnes pour le second.

Il y a 6 × 6 = 36 cases, donc 36 issues possibles.

Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de 7 ? Je compte les cases avec « 7 » : il y en a 6.

Exemple 2 : l'arbre des possibles

Tu lances une pièce (Pile ou Face), puis tu tires une boule dans un sac contenant une boule Rouge et une boule Verte.

 R → (P, R)
 P <
 V → (P, V)

 R → (F, R)
 F <
 V → (F, V)

L'arbre a 2 × 2 = 4 branches finales, donc 4 issues : (P,R), (P,V), (F,R), (F,V).

Probabilité d'obtenir Face ET Rouge ? Une seule issue est favorable :

Exemple 3 : compter avec un arbre plus grand

Un menu propose 3 entrées (E1, E2, E3) et 2 plats (P1, P2). Combien de menus possibles ?

Chaque entrée se relie à 2 plats : 3 × 2 = 6 menus. L'arbre le montre : 3 grosses branches, chacune se divisant en 2. Si tu choisis au hasard, chaque menu a une probabilité de 16.

Le secret : pour compter les issues d'une expérience à deux épreuves, on multiplie le nombre de possibilités de chaque épreuve.

À retenir

• Une expérience à deux épreuves enchaîne deux fois le hasard.
• Le nombre total d'issues = (possibilités épreuve 1) × (possibilités épreuve 2).
• Un arbre montre chaque chemin ; le nombre de branches finales = nombre d'issues.
• Un tableau à double entrée croise les deux épreuves : chaque case = une issue.
• La probabilité = dfracissues favorablesissues totales.

★ Pour aller plus loin

Sais-tu qu'au lancer de deux dés, toutes les sommes ne sont pas égales ? La somme 7 est la plus fréquente (6 chances sur 36), alors que 2 ou 12 n'apparaissent qu'une seule fois. C'est pourquoi, dans beaucoup de jeux de société, les cases « 6, 7, 8 » sont les plus stratégiques : le hasard n'est pas si équitable qu'il en a l'air !

Au lycée, tu découvriras les arbres pondérés : chaque branche portera une probabilité, et on multipliera les probabilités le long d'un chemin. C'est le prolongement direct de ce que tu apprends aujourd'hui.

Enfin, ces outils servent bien au-delà des dés. Les météorologues, les médecins ou les ingénieurs utilisent des arbres de probabilité pour prévoir des enchaînements d'événements (pluie puis orage, test positif puis maladie...). Tu manipules donc un vrai outil de scientifique !

Sources pour creuser

Livres :

• Maths 4e (collection Sésamath), Association Sésamath — chapitre sur les probabilités, avec exercices corrigés en ligne (manuel libre et gratuit sur sesamath.net).
• Le Théorème du parapluie, Mickaël Launay — un livre grand public accessible qui parle du hasard et des probabilités avec humour.

Vidéos / chaînes YouTube :

• Chaîne Yvan Monka (M@ths et tiques) : cherche « Probabilités à deux épreuves 4e » ou « Arbre de probabilité ». Explications claires pas à pas.
• Chaîne Micmaths (Mickaël Launay) : vidéos sur le hasard et les dés.

Ressources institutionnelles :

• lumni.fr : rubrique Mathématiques collège, cherche « probabilités ».
• education.gouv.fr : programmes officiels du cycle 4 (mathématiques).